KOMPOSISI FUNGSI

 

 

Tentu kalian pernah mendengar kata “komposisi” yang berarti susunan atau gabungan beberapa hal. Misalkan komposiis warna pada sebuah lukisan, komposisi bahan baku dalam pembuatan makanan, komposisi bahan dalam memproduksi suatu barang pada bidang industri. Komposisi – komposisi tersebut dibuat sedemikian sehingga dapat menghasilkan sesuatu yang memuaskan. 

Bagaimana membuat komposisi warna agar menghasilkan lukisan yang indah? Bagaimana membuat komposisi bahan makanan agar menghasilkan makanan yang lezat dan nikmat? Bagaimana membuat komposisi bahan baku yang tepat dalam industri sepatu agar menghasilkan sepatu yang kuat dan tahan lama? 

Contoh komposisi – komposisi tersebut diatas masih ada kaitan dengan komposisi yang akan kita bahas. Lalu, komposisi seperti apa yang akan kita pelajari? 

Pada bab ini, kita akan membahas mengenai komposisi fungsi. Cobalah mengingat kembali mengenai konsep fungsi sebelum masuk bab ini. Jika fungsi telah kalian pelajari dengan baik maka masalah – masalah mengenai komposisi fungsi akan dapat kalian selesaikan dengan baik pula. 

Komposisi fungsi melibatkan lebih dari satu fungsi. Suatu fungsi jika di komposisikan dengan fungsi lain akan terbentuk suatu fungsi baru. 

Lalu, apa manfaat dari komposisi fungsi? Dapatkah kita menerapkannya dalam kehidupan sehari – hari? Ternyata, penggunaan komposisi fungsi sering kita lihat dalam berbagai bidang. Coba kalian sebutkan!  

Komposisi fungsi tidak rumit, terutama jika kalian sangat memahami fungsi kemudian perhatikan fungsi apa yang berada di depan (susunan penulisannya). Agar kalian lebih memahami bagaimana membuat komposisi dari dua buah fungsi, variasinya dan lainnya, dapat kalian pelajari lebih mendalam pada materi Komposisi Fungsi. 

A. Pengertian Komposisi Fungsi 

Untuk memahami operasi komposisi pada fungsi, perhatikan gambar dibawah ini  

 

Berdasarkan gambar diatas dapat dikemukakan beberapa hal berikut : 

1) 𝐷𝑓 = daerah asal fungsi 𝑓, 𝑅𝑓 = daerah hasil fungsi 𝑓, 𝐷𝑔 = daerah asal fungsi 𝑔, 𝑅𝑔 = daerah hasil fungsi 𝑔, 𝐷𝑔∘𝑓 = daerah asal komposisi fungsi 𝑔 ∘ 𝑓, 𝑅𝑔∘𝑓 = daerah hasil komposisi fungsi 𝑔 ∘ 𝑓 

2) Fungsi 𝑓 memetakan himpuanan 𝐴 ke himpunana 𝐵, ditulis 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Setiap unsur 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 dipetakan ke 𝑦 ∈ 𝑅𝑓 dengan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥). Perhatikan gambar (a) 

3) Fungsi 𝑔 memetakan himpuanan 𝐵 ke himpunana 𝐶, ditulis 𝑔: 𝐵 → 𝐶. Setiap unsur 𝑦 ∈ 𝐷𝑔 dipetakan ke 𝑧 ∈ 𝑅𝑔 dengan fungsi 𝑧 = 𝑔(𝑦). Perhatikan gambar (b) 

4) Fungsi ℎ memetakan himpuanan 𝐴 ke himpunana 𝐶 melalui himpunan 𝐶, ditulis ℎ: 𝐴 → 𝐶. 

Setiap unsur 𝑥 ∈ 𝐷ℎ dipetakan ke 𝑧 ∈ ℎ dengan fungsi 𝑧 = ℎ(𝑥). Perhatikan gambar (c) 

 

Berdasarkan beberapa hal diatas diperoleh definisi berikut : 

 
Untuk lebih memahami komposisi fungsi, perhatikan contoh berikut. 

Contoh 1 : 

Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 4, maka tentukan  ! 

Alternatif Penyelesaian : 

  

= 𝑓 (3𝑥 + 4) 

= 2(3𝑥 + 4) − 1 

= 6𝑥 + 7 

Contoh 2 : 

Diketahui : 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 + 3. Tentukan (𝑥)! 

Alternatif Penyelesaian : 

 

B. Menentukan fungsi 𝒇 atau 𝒈 jika komposisi fungsi dari 𝒇 atau 𝒈 diketahui 

Setelah dapat menentukan komposisi fungsi 𝑓  𝑔 atau 𝑔  𝑓 jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 diketahui, bagaimana jika yang terjadi adalah sebaliknya? Jika fungsi yang diketahui adalah komposisi fungsi dan salah satu fungsi yang membentuk komposisi fungsi tadi, bagaimana cara menentukan fungsi lainnya? Untuk menyelesaikan permasalahan yang seperti itu, dapat dilihat contoh dibawah ini 

 

Contoh 3 : 

Diketahui : 𝑔 (𝑥) = 𝑥 – 1 dan  (fog)(x)= 𝑥² − 4𝑥 , tentukan 𝑓(𝑥)! 

Alternatif Penyelesaian : 

  ²   

𝑓 ( 𝑔(𝑥) )    = 𝑥² − 4𝑥 + 3 

𝑓 ( 𝑥 – 1)    = 𝑥² − 4𝑥 + 3 

misalkan : 𝑥 – 1 = 𝑎 

               𝑥 = 𝑎 + 1, maka  

𝑓 (𝑎) = (𝑎 + 1)² − 4( 𝑎 + 1) + 3 

            = 𝑎² + 2𝑎 + 1 – 4𝑎 – 4 + 3 

            = 𝑎² − 2𝑎  

Sehingga 𝑓 (𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 

Contoh 4 : 

Diketahui : 𝑔 (𝑥) = 3𝑥 + 2 dan  (gof) (𝑥) = 4𝑥 - 3, tentukan 𝑓 (𝑥)! 

C. Sifat – sifat  komposisi fungsi 

Seperti pada umunya operasi aljabar, baik operasi aljabar pada bilangan maupun operasi aljabar pada fungsi, operasi komposisi pada fungsi juga mempunyai sifat – sifat tertentu.